No ensino fundamental vemos a Geometria Plana, desde uma maneira intuitiva, do 1º ao 5º ano até uma forma mais rigorosa do 6º ao 9º ano.
No ensino médio passamos da Geometria Plana para a Espacial, que requer todo o embasamento da Geometria Plana e ainda temos a Geometria Analítica, que faz um relacionamento com Coordenadas Cartesianas e a Trigonometria que trata das razões trigonométricas.
No ensino superior vemos o rigor das demonstrações das construções geométricas e em outras disciplinas como Cálculo vemos aplicações que servem para aprofundar conceitos Geométricos com a Integral, por exemplo.
Vamos falar um pouco sobre dois conceitos que nos acompanham em todos estes níveis de ensino.
Perímetro
O perímetro de uma região limitada do espaço é uma medida unidimensional que define o comprimento total de sua fronteira, ou ainda, perímetro é a distância que circunda um objeto bidimensional.
Estas seriam definições que podem ser utilizadas tanto para o Ensino Médio quanto para o Superior, devido a uma maior complexidade das formas envolvidas.
Existem formas mais simples de definir perímetro quando trabalhamos com tipos específicos de formas. Aprendemos que para uma linha poligonal (união de segmentos de reta) fechada, o perímetro é a soma de todos os segmentos que a compõe. Esta definição de perímetro é muito vista nos Ensinos Fundamental e Médio, pois em geral trabalha-se muito figuras poligonais simples. Assim teríamos o perímetro como a soma dos lados de uma figura. Contudo um problema usual é o cálculo da medida de uma circunferência, que é um perímetro de uma figura que não possui lados.
Em geral o perímetro de uma região é denotado por: 2p
Nos ensinos fundamental e médio vemos algumas fórmulas para o cálculo do perímetro de algumas figuras elementares.
Paralelogramo
Um paralelogramo é um polígono de quatro lados cujos lados opostos são congruentes e paralelos entre si.
Na figura ao lado vemos alguns exemplos de paralelogramos.
O perímetro de qualquer paralelogramo pode ser obtido a partir de uma fórmula. Chamando de “a” e “b” seus lados não paralelos, temos:
2p= 2(a+b)
Quadrado
O quadrado é um paralelogramos onde todos os seus lados são congruentes entre si e todos os seus ângulos são retos.
Chamando o lado do quadrado de L, então o seu perímetro será:
2p=4L
Circunferência
A circunferência é um lugar geométrico dos pontos de um plano que estão a uma certa distância (fixa), chamada raio, de um certo ponto, chamado centro.
Chamando de r, ao raio , o perímetro de uma circunferência é encontrado pela fórmula:
2p= 2πr , onde π é um número irracional, que para efeito de cálculo geralmente adotamos o valor de 3,14
No Ensino Superior com o conhecimento de ferramentas do Cálculo Integral e Diferencial, vemos que o perímetro de uma curva qualquer pode ser calculado pela ferramenta chamada integral de linha, conforme detalhamos abaixo.
Definição 1: A uma função contínua g : [a, b] → Rn chamamos caminho em Rn e à sua imagem chamamos linha ou curva.
Comprimento de uma Linha
Sejam A e B dois pontos em Rn. Designemos por [A,B] o segmento de recta entre os pontos A e B. É claro que o comprimento de [A,B] é dado pela norma ||B − A||. O segmento de reta [A,B] pode ser descrito pelo caminho γ(t) : [0, 1] →Rn, definido por
γ (t) = A + t(B − A).
Note-se que, sendo γ (t) = B − A, temos
||B − A|| =
e, portanto, o comprimento do segmento de reta [A,B] é dado pelo integral
Seja L uma linha descrita pelo caminho γ: [0, 1] →Rn.
Definição 2. Seja : h : S → R, um campo escalar em que S Rn é um aberto e consideremos um caminho g : [a, b] → Rn de classe C e que representa a linha L S.
O comprimento de um caminho qualquer, é encontrado quando h=1, pela integral de linha.
Áreas
Podemos definir área como sendo a medida referente a porção do plano ocupada por uma figura plana. Esse processo de medição é comparativo com um padrão X denominado unidade de área. O resultado da comparação será um número que exprimir quantas vezes a figura contém a unidade padrão X.
Novamente nos deparamos com um conceito que é trabalho de maneira evolutiva, de acordo com os níveis de ensino.
No ensino médio vemos que podemos começar definindo a área de um quadrado de lado 1, como unidade padrão, a partir dessa unidade de medida temos algumas outras fórmulas que podem ser deduzidas, dentre as quais destacamos.
Área de um triângulo
Definimos a área de um triângulo qualquer como sendo a metade do produto de um lado pela altura correspondente.
Assim, seja “b” uma base de um triângulo e “h” sua altura correspondente, temos:
Retângulo
Sejam os dois lados paralelos chamados de “a” – base e o outro de “b” – altura, sua área será dada pelo produto destas medidas.
S=a.b
Ressaltamos que um Quadrado é um caso particular de um Retângulo onde todos os lados são iguais, assim a área de um quadrado de lado “l” será dada por l2 .
Existem outras fórmulas para o trapézio, losango, obtidas a partir destas.
A área de um círculo, região interna de uma circunferência, é dada pelo produto S= π.r2 , que foi um problema muito abordado durante a matemática clássica, foi calculada originalmente pelo Método da Euxastão de Eudóxio
Existe também uma fórmula, conhecida como Teorema de Heron, usada para calcular a área de um triângulo a partir das medidas de seu lados. Ela relaciona área com o semiperímetro pela equação.
Está última forma é muito útil, pois não precisamos calcular uma altura, bastando conhecer as medidas dos lados de um triâgulo.
No ensino superior a ferramenta usada para calcular uma área qualquer é a Integral Definida.
Seja uma função f(x), contínua no intervalo [a,b], então a área abaixo da curva é dada pela forma
, conforme a figura abaixo.
Volume
O volume de um corpo (objeto tridimensional) pode ser definido como a quantidade de espaço ocupada por esse corpo.
Vivemos num mundo tridimensional e muitos educadores defendem a abordagem desde as primeiros anos de estudo, contudo a Geometria Espacial é geralmente estudada no 2º ano do Ensino Médio. A criança manipula objetos e tem o contato com uma definição ainda que intuitiva com a idéia de Volume desde as séries iniciais.
As fórmulas encontradas para o cálculo do volume dos sólidos mais comuns são:
Cubo: V=l3 (onde l é o comprimento de um lado)
Paralelepípedo: V=l.c.a (sejam “l” a largura, “c” o comprimento e, “a” a altura)
Para prismas retos em geral o Volume é calculado através do produto da área da base pela altura.
Cilindro: V= .r2.h (r = raio de uma face circular, h = altura)
Esfera: V=4/3.r3 (r = raio da esfera)
De um modo geral, no ensino superior, com as ferramentas do cálculo integral e diferencial, o volume de um sólido genérico qualquer de uma região G do espaço é dado por :
BIBLIOGRAFIA
Área: Disponível em Acesso http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea em 15/12/2009
Integral: Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral Acesso em 15/12/2009
Integral de Linha: Disponível em www.math.ist.utl.pt/~gpires/AMIII/Textos/linha.pdf Acesso em 15/12/2009
Integral de Volume: Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_volume . Acesso em 15/12/2009
LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria, 2 Ed. Rio de Janeiro- SBM, 1997
Perímetro: Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetro Acesso em 15/12/2009
Teorema de Heron: Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Heron . Acesso em 15/12/2009
Volume: Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Volume . Acesso em 15/12/2009
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